9 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Содержание

Корень n степени задания. Корень степени n: основные определения. Вынесение минуса из-под знака корня

Извлечение корней: методы, способы, решения

Из этой статьи вы узнаете:

  • что такое «извлечение корня»;
  • в каких случаях он извлекается;
  • принципы нахождения значения корня;
  • основные способы извлечения корня из натуральных и дробных чисел.

Что такое «извлечение корня»

Для начала введем определение «извлечение корня».

Извлечение корня — процесс нахождения значения корня.

При извлечении корня n -ной степени из числа a, мы находим число b , n -ная степень которого равняется a . Если мы нашли такое число b , можно утверждать, что корень извлечен.

Выражения «извлечение корня» и «нахождение значения корня» равнозначны.

В каких случаях извлекается корень?

Корень n -ной степени можно извлечь из числа a точно в случае, если a можно представить в виде n -ной степени некоторого числа b .

4 = 2 × 2 , следовательно, из числа 4 можно точно извлечь квадратный корень, который равен 2

Когда корень n -ной степени из числа a невозможно представить в виде n -ной степени числа b , то такой корень не извлекается либо извлекается только приближенное значение корня с точностью до любого десятичного разряда.

Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

  • Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
  • Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители
  • Извлечение корней из дробных чисел
  • Извлечение корня из отрицательного числа
  • Поразрядное нахождение значения корня

Необходимо понять, по каким принципам находится значение корней, и каким образом они извлекаются.

Главный принцип нахождения значения корней — основываться на свойствах корней, в том числе на равенстве: b n n = b , которое является справедливым для любого неотрицательного числа b .

Начать следует с наиболее простого и очевидного способа: таблицы квадратов, кубов и т.д.

Читать еще:  Что такое полипы в голове. Полипы в матке и чем они могут быть опасны? Ждать ли рецидива, если удален полип

Когда таблицы под руками нет, вам поможет способ разложения подкоренного числа на простые множители (способ незатейливый).

Стоит уделить внимание извлечению корня из отрицательного числа, что является возможным для корней с нечетными показателями.

Изучим, как извлекать корни из дробных чисел, в том числе из смешанных чисел, обыкновенных и десятичных дробей.

И потихоньку рассмотрим способ поразрядного нахождения значения корня — наиболее сложного и многоступенчатого.

Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.

Таблица квадратов включает в себя все числа от 0 до 99 и состоит из 2 зон: в первой зоне можно составить любое число до 99 с помощью вертикального столбца с десятками и горизонтальной строки с единицами, во второй зоне содержатся все квадраты образуемых чисел.

Корень n-ой степени (10-11 класс). Как вычислить корень n-ой степени?

Корнем n-ой степени из действительного числа (a) называют такое число (b), (n)-ая степень которого равна (a).

Как вычислить корень n-ой степени?

Чтобы вычислить корень (n)-ой степени, надо задать себе вопрос: какое число в (n)-ой степени, даст выражение под корнем?

а) Какое число в (4)-ой степени, даст (16)? Очевидно, (2). Поэтому:

б) Какое число в (3)-ей степени, даст (-64)?

в) Какое число в (5)-ой степени, даст (0,00001)?

г) Какое число в (3)-ей степени, даст (8000)?

д) Какое число в (4)-ой степени, даст (frac<1><81>)?

Мы рассмотрели самые простые примеры с корнем (n)-ой степени. Для решения более сложных задач с корнями (n)-ой степени – жизненно необходимо знать их свойства .

В данный момент ни один из корней нельзя вычислить. Поэтому применим свойства корня (n)-ой степени и преобразуем выражение.
(frac>>) (=) (sqrt[5]<2>>) (=)(sqrt[5]<-32>) т.к. (frac>) (=) (sqrt[n]>)

Переставим множители в первом слагаемом так, что бы квадратный корень и корень (n)-ой степени стояли рядом. Так легче будет применять свойства т.к. большинство свойств корней (n)-ой степени работают только с корнями одинаковой степени.
И вычислим корень 5-ой степени.

Корень n-ой степени и квадратный корень связаны?

Да, арифметический квадратный корень является как раз корнем (n)-ой степени, у которого (n=2). Математики договорились для упрощения записи эту двойку над корнем не писать, то есть (sqrt[2]) записывать просто (sqrt). Суть при этом осталась той же.

В любом случае, любой корень любой степени — это просто число, пусть и записанное в непривычном вам виде.

Особенность корня n-ой степени

А возведение в четную степень делает даже отрицательное число положительным. Действительно, ((-2)^6=(-2) cdot (-2) cdot (-2) cdot (-2) cdot (-2) cdot (-2)=64). Поэтому мы не можем получить под корнем четной степени отрицательного числа. А значит, и извлечь такой корень из отрицательного числа – не можем.

Читать еще:  Серная мазь 33.3 процента от чего помогает. Серная мазь - инструкция по применению и отзывы. Как приготовить болтушку и от чего она помогает

Нечетная же степень таких ограничений не имеет – отрицательное число, возведенное в нечетную степень останется отрицательным: ((-2)^5=(-2) cdot (-2) cdot (-2) cdot (-2) cdot (-2)=-32). Поэтому под корнем нечетной степени можно получить отрицательное число. А значит и извлечь его из отрицательного числа – тоже можно.

Корни и степени

Степенью называется выражение вида .

Здесь — основание степени, — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

Это верно для . Выражение 0 0 не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где — целое, — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Например, , так как ;

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Читать еще:  Базофилы 0. Пониженные базофилы в анализе крови

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются

— при делении степени на степень показатели вычитаются

— при возведении степени в степень показатели перемножаются

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.

Извлечение корня

Извлечь из данного числа корень какой-нибудь степени значит найти такое число, которое при возведении в эту степень, будет равно данному числу.

Из правил знаков при возведении в степень следует, что:

    Корень нечётной степени из положительного числа есть число положительное, а из отрицательного – отрицательное.

, так как (+3) 3 =27

, так как (-3) 3 =-27

Корень чётной степени из положительного числа может быть как положительным, так и отрицательным числом.

, так как (+3) 2 =+9 и (-3) 2 =+9

, так как (+4) 4 =+256 и (-4) 4 =+256

  • Корень чётной степени из отрицательного числа является невозможным выражением, потому что любое положительное или отрицательное число при возведении в чётную степень даёт только положительный результат. Таким образом, – это невозможные выражения. Невозможные выражения иначе называют мнимыми.
  • Извлечение корня из произведения, степени и дроби

    Чтобы извлечь корень из произведения, надо извлечь его из каждого множителя отдельно.

    Так же можно сказать, что корень произведения равен произведению корней всех его множителей:

    Чтобы извлечь корень из степени, следует показатель степени разделить на показатель корня:

    Чтобы извлечь корень из дроби, следует извлечь его отдельно из числителя и из знаменателя:

    Вынесение множителя из-под знака корня

    Когда нельзя извлечь корень из всего подкоренного числа или выражения, то подкоренное число или выражение раскладывают на множители и извлекают корень только из тех множителей, из которых это возможно сделать.

    Внесение множителя под корень

    Если нужно внести множитель под знак корня, то его следует возвести в степень, равную показателю корня.

    Ссылка на основную публикацию
    Статьи c упоминанием слов:

    Adblock
    detector